【理論】令和5年(上期)　問9｜交流R-L直列回路における力率の求め方に関する計算問題

抵抗 R の場合：

\[ \begin{eqnarray} \dot{V}_{\mathrm{R}} &=& R\dot{I} \end{eqnarray} \]

抵抗では、電圧と電流は同相（位相差なし）です。

コイル L の場合：

\[ \begin{eqnarray} \dot{V}_{\mathrm{L}} &=& \mathrm{j}\omega L \dot{I} \end{eqnarray} \]

コイルでは、電圧は電流よりも位相が90°進みます。

コンデンサ C の場合：

\[ \begin{eqnarray} \dot{V}_{\mathrm{C}} &=& \frac{\dot{I}}{\mathrm{j}\omega C} \end{eqnarray} \]

コンデンサでは、電圧は電流よりも位相が90°遅れます。

各素子での電力：

• 抵抗 R：有効電力のみを消費（P = RI²、Q = 0）
• 理想コイル L：無効電力のみを消費（P = 0、Q = ωLI²）
• 理想コンデンサ C：無効電力のみを消費（P = 0、Q = -I²/ωC）

電力三角形：

有効電力 P、無効電力 Q、皮相電力 S の関係は、直角三角形（電力三角形）として表現できます：

• 底辺：有効電力 P [W]
• 高さ：無効電力 Q [var]
• 斜辺：皮相電力 S [VA]
• 底辺と斜辺のなす角：位相角 θ

力率改善の重要性：

低い力率は以下の問題を引き起こします：

• 電力損失の増加（送電線での熱損失）
• 電気設備の容量不足（同じ有効電力に対して大きな皮相電力が必要）
• 電圧降下の増加

これらの問題を解決するため、産業用の大型機器ではコンデンサバンクを設置して力率を改善（力率改善用コンデンサ）することが一般的です。

問題1：RLC直列回路のインピーダンス

抵抗 R = 100 Ω、コイル L = 0.2 H、コンデンサ C = 20 μF が直列に接続された回路があります。この回路の周波数 f = 50 Hz におけるインピーダンスと位相角を求めなさい。

解答：

まず、各素子のリアクタンスを計算します。

\[ \begin{eqnarray} X_L &=& 2\pi f L \\[10pt] &=& 2\pi \times 50 \text{ Hz} \times 0.2 \text{ H} \\[10pt] &\approx& 62.8 \text{ Ω} \end{eqnarray} \]

\[ \begin{eqnarray} X_C &=& \frac{1}{2\pi f C} \\[10pt] &=& \frac{1}{2\pi \times 50 \text{ Hz} \times 20 \times 10^{-6} \text{ F}} \\[10pt] &\approx& 159.2 \text{ Ω} \end{eqnarray} \]

合成リアクタンスは：

\[ \begin{eqnarray} X &=& X_L - X_C \\[10pt] &=& 62.8 \text{ Ω} - 159.2 \text{ Ω} \\[10pt] &=& -96.4 \text{ Ω} \end{eqnarray} \]

インピーダンスの大きさは：

\[ \begin{eqnarray} Z &=& \sqrt{R^2 + X^2} \\[10pt] &=& \sqrt{(100 \text{ Ω})^2 + (-96.4 \text{ Ω})^2} \\[10pt] &=& \sqrt{10000 + 9293} \\[10pt] &\approx& 138.9 \text{ Ω} \end{eqnarray} \]

位相角は：

\[ \begin{eqnarray} \theta &=& \tan^{-1}\left(\frac{X}{R}\right) \\[10pt] &=& \tan^{-1}\left(\frac{-96.4}{100}\right) \\[10pt] &\approx& -43.9 \text{ 度} \end{eqnarray} \]

位相角が負であるため、この回路は容量性（コンデンサが支配的）であり、電流が電圧より進むことを示しています。

問題2：電力の計算

インピーダンス Z = 50 + j30 Ω の回路に電流 I = 2 A が流れています。この回路の有効電力、無効電力、皮相電力および力率を求めなさい。

解答：

まず、各パラメータを確認します：

• 抵抗成分 R = 50 Ω
• リアクタンス成分 X = 30 Ω
• 電流 I = 2 A

有効電力は：

\[ \begin{eqnarray} P &=& RI^2 \\[10pt] &=& 50 \text{ Ω} \times (2 \text{ A})^2 \\[10pt] &=& 200 \text{ W} \end{eqnarray} \]

無効電力は：

\[ \begin{eqnarray} Q &=& XI^2 \\[10pt] &=& 30 \text{ Ω} \times (2 \text{ A})^2 \\[10pt] &=& 120 \text{ var} \end{eqnarray} \]

皮相電力は：

\[ \begin{eqnarray} S &=& \sqrt{P^2 + Q^2} \\[10pt] &=& \sqrt{(200 \text{ W})^2 + (120 \text{ var})^2} \\[10pt] &=& \sqrt{40000 + 14400} \\[10pt] &=& \sqrt{54400} \\[10pt] &\approx& 233.2 \text{ VA} \end{eqnarray} \]

または、インピーダンスの大きさから：

\[ \begin{eqnarray} Z &=& \sqrt{R^2 + X^2} \\[10pt] &=& \sqrt{(50 \text{ Ω})^2 + (30 \text{ Ω})^2} \\[10pt] &=& \sqrt{2500 + 900} \\[10pt] &=& 58.3 \text{ Ω} \end{eqnarray} \]

\[ \begin{eqnarray} S &=& ZI^2 \\[10pt] &=& 58.3 \text{ Ω} \times (2 \text{ A})^2 \\[10pt] &=& 233.2 \text{ VA} \end{eqnarray} \]

力率は：

\[ \begin{eqnarray} \cos\theta &=& \frac{P}{S} \\[10pt] &=& \frac{200 \text{ W}}{233.2 \text{ VA}} \\[10pt] &\approx& 0.857 \end{eqnarray} \]

または：

\[ \begin{eqnarray} \cos\theta &=& \frac{R}{Z} \\[10pt] &=& \frac{50 \text{ Ω}}{58.3 \text{ Ω}} \\[10pt] &\approx& 0.857 \end{eqnarray} \]

リアクタンスが正（誘導性）であるため、この回路は遅れ力率であり、電流が電圧より遅れています。